Читать интересную книгу Stream Art. Новое в живописи - Алекс Радченко

Оказывается, даже единственное пересечение втекающего и вытекающего потоков с неизбежностью приводит к появлению непредсказуемых структур. Подобные пересечения могут возникать даже в таких «хороших» системах, как системы, описываемые законами движения Ньютона. Этот факт впервые был открыт в XIX веке французским математиком Анри Пуанкаре. Однако сложность анализа течения жидкости при наличии такого пересечения (подобное состояние системы сейчас называют хаосом) поразила Пуанкаре, и он решил больше не заниматься этой проблемой.

Подобная ситуация встречается и в других физических системах. Выдающийся американский физик XIX века Джозайя Уиллард Гиббс пришел к выводу, что потоковым системам присущи необратимость и непредсказуемость. Показательно в этом отношении, что для иллюстрации необратимости им был предложен гипотетический эксперимент, в котором рассматривалось перемешивание.

Хаос в потоках жидкости

Число систем, для которых получены точные аналитические решения, довольно невелико, и многие из них настолько сильно идеализированы, что воспроизвести их в условиях лабораторного эксперимента невозможно. Одна из систем, допускающая точное решение и пригодная для эксперимента, представляет собой поток между двумя вращающимися эксцентрическими цилиндрами.

Многочисленные эксперименты с двумерными хаотическими потоками показали, что крупномасштабные структуры в перемешиваемой жидкости (такие, как положения и формы островов не смешанной жидкости и крупных текстурных складок) хорошо воспроизводимы; более мелкие детали этой вытянуто-складчатой структуры не воспроизводимы. Причина заключается в том, что небольшой разброс начальных положений окрашенных капель быстро растет на хаотических участках потока. Так и должно быть: точное воспроизведение рассматриваемого процесса перемешивания невозможно. В конце концов, перемешивание приводит к полной хаотичности. Именно это и достигается с помощью процедуры вытягивания и образования складок, которая применялась в наших экспериментах.

Интересно также, как в таком потоке могут сосуществовать хаос и симметрия. Систематически исключая симметрию из хаотического потока, удалось повысить эффективность перемешивания.

Сравнение результатов экспериментов и компьютерного моделирования.

Достаточно простую экспериментальную систему легко смоделировать на компьютере. Типичная программа заключается в том, что некоторое число пробных точек помещают в моделируемое поле скоростей жидкости. Вычисленные положения точек после около 1000 периодов дают хорошую общую картину поведения системы по истечении длительного времени.

Компьютерное моделирование процесса перемешивания обнаруживает также черты необратимости, но в этом случае невоспроизводимость обусловлена прогрессирующим ростом ошибки, вносимой компьютером, поскольку он может обрабатывать числа только с конечным количеством знаков.

Основное

Даже весьма простые поля скоростей жидкости способны создать чрезвычайно сложные структуры. В некоторых задачах о перемешивании желательно, чтобы выявлялись самые тонкие детали образующейся структуры.

Например, при моделировании потока в прямоугольной полости поле скоростей, вычисленное обычным образом, может оказаться слишком неточным для выявления деталей вытянуто-складчатой структуры. Оно оказывается практически бесполезным для точного нахождения координат, определяющих сложное поведение хаотических потоков. Кроме того, вычисление поля скоростей в задаче о перемешивании – это только начальная стадия.

По этой причине исследование процесса перемешивания проводилось в основном на весьма схематичных потоках (описываемых уравнениями, которые в некоторых случаях могут быть решены точно), а не на более близких к реальности системах, для которых может быть получено лишь приблизительное решение. Действительно, приблизительные решения «потоковых» уравнений часто служат источником ложных эффектов, отсутствующих в реальной задаче о перемешивании жидкостей.

Даже компьютерное моделирование простых потоков, которые мы проводили, часто приводило к непреодолимым трудностям. Компьютер представляет жидкость как совокупность дискретных элементов. При этом окрашенная капля может состоять из сотен тысяч элементов, и количество операций, выполняемых компьютером в процессе слежения за ее хаотическим поведением при перемешивании, может быть огромным.

Чтобы проследить за поведением всех полос в областях хаотического перемешивания даже в случае простого примера, потребовалось бы 300 лет машинного времени на компьютере с быстродействием миллион операций в секунду. Несомненно, можно оспаривать необходимость детального слежения за отдельными элементами структуры, считая более оправданным рассматривать структуру статистически. Но не будет ли это означать признания поражения? Если поле потоковых скоростей (или «движение») точно известно, то зачем обращаться к статистическим методам?

Таким образом, новые теоретические исследования нуждаются в объединении с хорошо поставленными экспериментами, поскольку, вероятнее всего, простые вычисления не могут дать ответ на многие вопросы, касающиеся хаотических потоков. Например, каким образом должны двигаться стенки полости с жидкостью для того, чтобы размеры островов не смешанной краски (включая и вновь образующиеся) стали меньше некоторой заданной величины? Ответ на этот вопрос позволил бы в будущем создать весьма тонкую систему, которая могла бы анализировать структуру смешивающейся жидкости, обнаруживать «острова» и менять поток так, чтобы они смешивались с остальной жидкостью.

Ограничения и трудности.

Однако до создания такой тонкой системы предстоит еще многое узнать о свойствах реальных потоков. Хотя описанные выше эксперименты и компьютерное моделирование дают представление об общих свойствах процесса перемешивания, они представляют собой примеры лишь идеальных систем. При анализе этих потоков, например, не учитывается инерция. Иными словами, поток останавливается сразу же, как перестают двигаться стенки полости. В результате в таком потоке не происходят характерные процессы, наблюдаемые при периодическом течении.

В любом фиксированном месте нашей экспериментальной камеры наблюдатель скорее увидел бы одно и то же периодически повторяющееся движение жидкости вместо непериодического и непредсказуемого распределения скоростей, которое порождается турбулентным потоком. Однако именно турбулентность делает перемешивание сливок в кофе с помощью ложки (система с относительно большим числом Рейнольдса) более легким, чем смешивание двух красок шпателем (система с малым числом Рейнольдса).

Турбулентный поток создает структуры, полностью отличающиеся от структур, создаваемых медленными вязкими потоками. Изображение, полученное К. Шринивасаном из Йельского университета, представляет собой компьютерную реконструкцию фотографии струи воды, впрыснутой через круглое сопло в неподвижную воду. Во впрыскиваемой воде была растворена флуоресцентная краска, и фотографирование проводилось при освещении лазерным лучом, направленным вдоль оси сопла. Интенсивность флуоресценции пропорциональна градиенту концентрации красителя в воде. При компьютерной реконструкции она была закодирована в цвете, который в зависимости от градиента концентрации меняется от темно-синего до красного. Такой турбулентный поток представляет собой наложение фрактальных структур и нескольких вихрей.

Хотя в этой статье намеренно не рассматривались наиболее эффективные для перемешивания потоки (турбулентные), есть основания полагать, что некоторые из представленных здесь идей были бы полезны при их изучении. Например, несколько развив подход к двумерным хаотическим потокам, можно получить изменение скорости движения жидкости в фиксированной точке. Однако очевидно, что много предстоит еще сделать, чтобы турбулентные потоки были бы изучены в такой же степени, как ламинарные, которые мы рассматривали в данном эксперименте.

Послесловие

Лишь недавно была построена установка, с помощью которой возможно проводить контролируемые эксперименты с трехмерными потоками. С процессом перемешивания медленных трехмерных потоков связано множество нерешенных фундаментальных проблем. И, к сожалению, интуитивный опыт, приобретенный в экспериментах с двумерными потоками, не всегда можно распространять на случай трех измерений.

Первый шаг далекого путешествия

Список задач о перемешивании отнюдь не исчерпывается примерами, рассмотренными в статье. Очень мало известно о процессе перемешивания вязко-эластичных жидкостей (таких, которые восстанавливают свою первоначальную форму после деформации). Это очень сложная задача. Известно только, что этот процесс играет определяющую роль при получении высокомолекулярных полимеров. В биотехнологии большое значение имеет смешивание нестабильных жидкостей, структура которых разрушается при высоких перепадах скоростей потока. Для геофизиков, изучающих перемешивание магмы в земной мантии, большой интерес представляет процесс смешивания вязких жидкостей при тепловой конвекции.